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ベルヌーイの定理、単位など他BERNOULLI’S THEOREM etc
流体の基礎の基礎
水の圧力のことを理解するためには、簡単な流体やら力学やらの知識が必要になります。
どうして水は高いところから低いところに流れるのでしょう？
水を低いところから高いところへ揚げるにはどうすればよいのでしょう？
単純なことでも地球上に重力がある事や水に粘性がある事等がカギになります。なるべく平易にまとめることに終始したつもりです。このページは、今更ながらの自分的メモと復習を兼ねています。
※只今試験的にアップしており、チェックが行き届かず工事中分も有ります。御注意下さい。
ベルヌーイの定理他の項目の見出し
水頭・水圧の換算関係 単位につける接頭語等径深と潤辺長・流速と流量の関係ほかエネルギー保存の法則・トリチェリーの定理ベルヌーイの定理 べルヌーイの定理（損失水頭を考慮した）＜水圧で、出てくる主な単位のまとめ他＞
よくある会話で、「ここの水圧は、5キロ有る」という言い方をします。この場合はご承知のとおり、5kgf/cm^2のことなんです。SI規格からずれているけれど、馴染みがある単位です。
0.75MPaの水圧を、750KPaと表現したら、ｷﾛだけが耳に残って、750kgf/cｍ2と、とてつもない高圧と勘違いされ、そんなに高圧!?と勘違いされることも有ります。(実際は約7.5kgf/cmｍ2)
水圧は、単位面積あたりに作用する力の大きさのこと（面に対して垂直にはたらく）というのを理解してください。
| 水頭（ｍ） | 1.00000 | 102.1 | 0.1021 | 10.00900 |
|---|---|---|---|---|
| 水圧（ＭPa） | 0.00980 | 1.0 | 0.0010 | 0.09806 |
| 水圧（ｋPa） | 9.80665 | 1000.0 | 1.0000 | 98.06650 |
| 水圧（kgf/cm^2） | 0.09991 | 10.2 | 0.0102 | 1.00000 |
1Pa＝1N/m2
| 水頭（ｍ） | 1.00 | 100 | 0.100 | 10.0 |
|---|---|---|---|---|
| 水圧（ＭPa） | 0.01 | 1 | 0.001 | 0.1 |
| 水圧（ｋPa） | 10.00 | 1000 | 1.000 | 100.0 |
| 水圧（kgf/cm^2） | 0.10 | 10 | 0.010 | 1.0 |
| 記号 | 読み方 | 10のべき乗 | 漢字表示 | 数字表示 |
|---|---|---|---|---|
| P | ペタ | 10＾15 | 千兆 | 1,000,000,000,000,000 |
| T | テラ | 10＾12 | 一兆 | 1,000,000,000,000 |
| G | ギガ | 10＾9 | 十億 | 1,000,000,000 |
| M | メガ | 10＾6 | 百万 | 1,000,000 |
| ｋ | キロ | 10＾3 | 千 | 1,000 |
| ｈ | ヘクト | 10＾2 | 百 | 100 |
| da | デカ | 10 | 十 | 10 |
| ｄ | デシ | 10＾-1 | 十分の一 | 0.1 |
| ｃ | センチ | 10＾-2 | 百分の一 | 0.01 |
| ｍ | ミリ | 10＾-3 | 千分の一 | 0.001 |
| μ | マイクロ | 10＾-6 | 百万分の一 | 0.000001 |
| n | ナノ | 10＾-9 | 十億分の一 | 0.000000001 |
| ｐ | ピコ | 10＾-12 | 一兆分の一 | 0.000000000001 |
| ｆ | フェムト | 10＾-15 | 千兆分の一 | 0.00000000000001 |
接頭語やら単位やら知らないと結構大変です。今更聞けない。
| 記号 | 読み方 | 10のべき乗 | 漢字表示 | %表示 | 数字表示 |
|---|---|---|---|---|---|
| ％ | パーセント | 10＾-2 | 百分の一 | 1% | 0.01 |
| ‰ | パーミル | 10＾3 | 千分の一 | 0.1% | 0.001 |
| ‱ | パーミリアド | 10＾-5 | 一万分の一 | 0.01% | 0.0001 |
| ppm | パーツ・パー・ミリオン | 10＾-6 | 百万分の一 | 0.0001% | 0.000001 |
| ppb | パーツ・パー・ビリオン | 10＾-9 | 十億分の一 | 0.0000001% | 0.000000001 |
| ppt | パーツ・パー・トリリオン | 10＾-12 | 一兆分の一 | 0.0000000001% | 0.000000000001 |
後から、‰が出てくるので、記入してみました。
径深と潤辺長について
ここでは、主に管内に水が充満して流れる管水路）についてお話します。
計算を簡便にするためＤの値は、管の内径（直径）＝管のA呼びをそのまま使用しています。流水断面積（流積）Aは円の面積です。
S：潤辺長,
A：流水断面積,
R：径深（ｍ）
径深ＲはR=A/Sの式であらわされる。
潤辺Sとは、水路断面のうち、水に接している部分のこと。(ちなみに管水路ではない）
流線と流管
水理ででてくる基本的な言葉に、流速と流量が有ります。そこへ行く前にまず、流線というものについて理解して下さい。
水は広いところは広いなりに、狭いところは狭いなりに自由に形を変えて動き回る流体です。水理の基本では定常流（時間の経過によって速度が変化しない流れ）で水の粒子が流れていく、流れのルートを流線といいます１本1本の流線を複数まとめたものが流管です。ただ、管の中を水が流れているということだけを考えるのではなく、流線と流管を想像すればより流体についての理解が深まります。管の中に複数の流線が集まって管自体を流管としていると考えればわかりやすいかと思われます。後述のベルヌーイの定理でも流線をイメージして下さい。
流速と流量の関係
流水断面積とは水路や管路の流れの方向に垂直の断面積のうち、水の占める面積のことをいう。単位は㎡等
流速とはある点の流水断面積を通る水の速度のこと。（平均流速をいう）例えば水の粒子が一秒間や１分間に断面積をどれだけの距離を進めるか等。単位はm/s等
流量とは単位時間内（例えば１秒間や１分間など）に流水断面積を通過する水の量。単位はm3/S等
流速をυ、流量をＱ、流水断面積をA、とすれば、
の関係が成り立つ ※この式が管の大きさと流量と流速との関係の基本式だと理解して下さい。（単純です。） 単純でとても大切な基本の基本です。
余談ですが・・・大便器のフラッシュバルブの配管（結構長い距離）を15Aで、している人がいました。その人曰く圧が高いからだったようですが、いくら圧が高いとはいえ管があまりに小さければ流量の確保が出来ないのでお話になりません。
当然、やり替えになったとのことです。接続配管サイズって基本と言うより常識過ぎて全く信じられないのですが、怖い話です。”設備屋”を名乗る資格無し！！似たようなことが多々有ります…。じゃあ、極端に言えば水圧さえ高ければ例えば100個の器具や高層でも配管サイズが小さくとも構わないということなのでしょうが、素人が考えても分かると思います。
質量保存（エネルギー保存）の法則
単純な管路を考える
管路の任意の２点で平均流速と水の密度の関係
流量をＱ、流水断面積をA1,A2、
流速をv1,v2とする。
断面A1より入ったものは断面A2より流出する。２点間の水の質量は管壁からの水の出入りがないので、一定である。
以上２式を連続の式という。
流水断面積と流速の関係
流水断面積（配管径）が大きければ流速は小さく（ゆっくりである）流水断面積が小さければ流速は大きい（速い）。
流速が大きいというのを逆に理解して速度が緩やかと勘違いされる方がいます・・・。基本の基本を理解して下さい。
トリチェリーの定理
水槽の壁に小さな横穴をあけ、水を流出させる。
水面と流出穴中心高さの距離を位置水頭→H、速度水頭,圧力水頭→0
流出穴の手前附近では圧力水頭→P1／ρg、速度水頭,位置水頭→0
穴流出部分では速度水頭→ｖ2/2g、圧力水頭,位置水頭→0
H=P1／ρg=ｖ2/2gより H=ｖ2/2g
となる
これは、物体の落下距離と落下速度の関係式と同じになる。
ベルヌーイの定理
非圧縮性、非粘性流体におけるエネルギー保存の法則のこと。
断面によって各水頭が変化してもその和は常に一定※損失水頭等は考慮されない。
※水頭とは、エネルギーを水柱の高さ（ｍ）で表したものである。
断面①と②での圧力をそれぞれｐ1,ｐ2とし、流速をそれぞれv1,v2とする
任意の水平面を基準にとって、断面①と②でのそれぞれの高さをｈ1,ｈ2とする
水の密度を ρ=1000kg/m3
重力の加速度 ｇ=9.8m/s2
| エネルギー | Pa | 水頭 | ｍ | 備 考 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| ①点 | ②点 | ①点 | ②点 | ①点 | ||
| 圧力エネルギー |
ｐ1 | ｐ2 | 圧力水頭 | ｐ1／ρg | ｐ2／ρg | エネルギーのPa欄は、各項をρｇで割ると、水頭のｍ欄になる。 |
| 運動エネルギー |
ρV12/2 | ρV22/2 | 速度水頭 | v12/2g | v22/2g | |
| 位置エネルギー |
ρ1ｇｈ1 | ρｇｈ2 | 位置水頭 | ｈ1 | ｈ2 | |
Ｈを全水頭とする。
管路のどの点をとっても全水頭Ｈは一定で、断面の大きさには関係が無いので、どの断面をとっても成り立つ
水を理想流体と考えたときに成り立つ式ということに注意が必要です。
ベルヌーイの定理（損失水頭を考慮した）
| 水頭 | ①点 | ②点 | 備 考 |
|---|---|---|---|
| 圧力水頭 | ｐ1／ρｇ | ｐ2／ρg | 断面①と②での圧力をそれぞれｐ1,ｐ2とする 水の密度をρ =1000kg/m3 重力の加速度 g=9.8m/s2 |
| 速度水頭 | v1^2/2g | v2^2/2g | 断面①と②での流速をそれぞれv1,v2とする 重力の加速度 ｇ=9.8m/s2 |
| 位置水頭 | ｈ1 | ｈ2 | 任意の水平面を基準にとって、断面①と②でのそれぞれの高さを ｈ1,ｈ2とする |
| 損失水頭 | －－ | ｈf12 | 断面①から②までのあいだの損失水頭をｈf12とする |
損失水頭を考慮したベルヌーイの定理
Ｈを全水頭とする。
ベルヌーイの定理は２つの断面間の全水頭の差が損失水頭である事を示しているから、hｆ12（損失水頭）は次の式で表される。
圧力水頭と位置水頭の和はピエゾ水頭と呼ばれる
①点と②点におけるピエゾ水頭の高さを結んだ線→動水勾配線といい
動水勾配線が水平となす傾きをＩで表す。
Ｌ：管長、I：動水勾配
①点と②点における全水頭の高さを結んだ線→エネルギー勾配線という。（配管の摩擦水頭が入っていないもの）
エネルギー勾配線が水平となす傾きをＩeで表す
Ie：エネルギー勾配
●おまけ→ちなみに速度水頭が変わらない（管サイズが同径）場合は、下記のようになります。V1=V2
ｈ1＝ｈ2
ざっと見ると、動水勾配Iは、エネルギー勾配Ieから速度水頭を単純に引いたものであり、この場合速度水頭の差が生じないので、I=ｈｆ12/L＝Ie
となる事が簡単に理解できると思います。
速度は、平均流速ということにも注意して下さい。
右の"動水勾配ほか"は、未だ書きかけのページですが、多少は参考になるかも。
